Statistik und Stochastik
Statistische Auswertungen von Zahlen gehören heute zum Standardwerkzeug jeder guten Materialwirtschaftssoftware. Allerdings kann man sich nicht darauf verlassen, wirklich alle Kennzahlen der Bewegungen, der Werte un Zahlen des Eingangs, Ausgangs, Verkaufs und Einkaufs so präsentiert zu bekommen, wie man dies im Einzelfall haben möchte.
Damit auch schewierige Auswertungen gelingen, gibt es zwei Möglichkeiten: Man investiert in (meist teure) Zusatzsoftware und Plugins für die betriebseigene Verwaltungssoftware, oder man nutzt Standardsoftware, wie Excel oder andere Kalkulationsprogramme aus gängigen Officepaketen (wie Lotus, Star, Sun) und dort eingebaute Formeln.
Hier allerdings gibt es ein Problem zu lösen, nämlich welche Formel für welchen Zweck, wie sind Tabellen aufzubauen, und was ist überhaupt eine statistische Auswertung?
Folgend soll also nun einführend Statistik und Stochastik erklärt werden, ohne allerdings besonders in die Tiefe zu gehen. Es gibt zu diesem Thema ein wirklich gelungenes Onlinetutorial der TU Tübingen, mit welchem man das hier dargestellte gut nachvollziehen und sein Wissen testen kann.
Stochastik
Stochastik bezeichnet das mathematische Feld der Wahrscheinlichkeitsrechnung, welches wiederum in vielen Bereichen der Statistik, vor allen in den Prognosewerkzeugen Anwendung findet.
Der Begriff Wahrscheinlichkeit im mathematischen Sinn drückt den errechnbaren Wert für das Eintreffen eines Ereignisses in Abhängigkeit von den überhaupt möglichen Ereignissen. Auch können Kombinationen verschiedener möglicher Ereignisse und sogenannte verküpfte Wahrscheinlichkeiten errechnet werden.
Aber was heißt das nun im Klartext?
Ein Beispiel soll das nun veranschaulichen. Wenn man eine normal Münze wirft, so landet diese auf einer der beiden Seiten (Kopf oder Zahl) wieder auf dem Boden. Hiermit kann man auslosen, wer anfängt oder wer beim Fußball welche Seite bekommt, da die Chance für beide Parteien gleich groß ist, nämlich 50/50. Aber stimmt diese Behauptung?
Mathematisch betrachtet ist dies nichts anderes, als die Ermittlung eines Ereignisses aus der Menge der möglichen Ereignisse und der errechnbare Wert der Wahrscheinlichkeit für dein gewünschtes Ereignis:
- Ereigniss: Kopf liegt oben, Zahl liegt oben
- Menge der möglichen Ereignisse: W={Kopf, Zahl}, auch Ereignismenge oder Wertemenge genannt
- Wert dieset Menge: 2 , da es insgesamt zwei mögliche Ereignisse gibt
- gewünschtes Ereignis x: Zahl liegt oben, Wert=1
- Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis: P(x) = gewünschtes Ereignis durch Anzahl der möglichen Ereignisse = x / W = 1 / 2
1/2 = 0,5 = 50%, somit haben wir hier mathematisch die Eingansbehauptung einer gleichen Chance bewiesen. Wenn nämlich jedes mögliche Ereignis mit der gleichen Wahrscheinlichket eintrifft, so nennt man diese Chancengleich, oder paritär.
Versuche, Versuchsreihe
Bisher haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass Versuche zur Ermittlung der Ergebnisse auch stattfinden. Damit Wahrscheinlichkeiten in einer Versuchsreihe nachvollzogen werden können, müssen bestimmte Rahmenbedingung erfüllt werden:
- Wiederholbarkeit - die äußeren Versuchsbedingungn müsse reproduzierbar sein.
Der Münzwurf findet an der selben Stelle, zur selben Tageszeit bei selben Wetter statt; Die Person, die wirft, ist dieselbe.
- Gleichmäßigkeit - innerhalb des Versuches müssen Störfaktoren ausgeschlossen sein.
Die Münze wird vor jedem Wurf gereinigt, die eingesetzte Wurfkraft bleibt annähernd gleich, die Wurfrichtung bleibt identisch...
- Chancengleichheit - das Eintreten des Ereignisses darf durch den Versuch nicht gefährdet sein.
Die Münze wird nicht beschädigt oder verformt.
Die Begriffe kann man nun wie folgt definieren:
- Ein Versuch ist die einmalige Herstellung eines beliebigen Ereignisses aus der Menge der möglichen Ereignisse ( Kopf oder Zahl? wir losen aus!)
- Eine Versuchsreihe ist die Herstellung beliebig vieler gleicher oder unterschiedlicher Ereignisse aus der Menge der möglichen Ereignisse (Wievielmal wirfst Du Zahl bei zehn Münzwürfen?)
Eine Versuchsreihe dient später der statistischen Auswertung, d.h. mit der Aufnahme einer solchen Reihe kann das Ergebnis später auf alle möglichen Gesichtspunkte untersucht werden, z.B. auf Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses, auf die Kombinationsfolge verschiedener Ereignisse, auf Wiederholungen von Ereignissen, Tendenzen, usw...
Verknüpfung von Wahrscheinlichkeiten
Wenn man die Anzahl der Würfe erhöht, so gibt es hier mehrere Ansätze, Wahrscheinlichkeiten auszurechnen. Hierzu bedient man sich dann der "bool'schen Algebra", die auf "und" und "oder" Verknüpfungen basiert, und diese in Relation setzt.
Auf unser Beispiel angewendet:
- Man spricht von einer Oder-Verknüpfung (OR), wenn gefragt wird: "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Münzwurf Kopf oder Zahl (also auschließlich ein oder das andere Ereigniss zu erzielen)zu werfen? Da nur Kopf oder Zahl geworfen werden kann, 100%.
Mathematisch sieht das so aus:
P (x1 v x2) = 1/2 + 1/2, also die Verküpfung der Wahrscheinlichkeit für Kopf und Zahl mit "+", Addition der Einzelwahrscheinlichhkeit.
- Man spricht von einer Und-Verknüpfung (AND), wenn gefragt wird: "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Münzwürfen einmal Kopf und einmal Zahl zu werfen?" Hier schließen sich bestimmte Ereignisse aus, da folgendes gilt: wird beim ersten Versuch Zahl geworfen, so muss beim zweiten Versuch Kopf geworfen werden, umgekehrt beim ersten Kopf muss dann Zahl beim zweiten Versuch fallen. Alle anderen Kombinationen führen nicht zum gewünschten Ziel!
Mathematisch sieht das dann so aus:
P (x1 ^ x2) = 1/2 x 1/2 = 1/4, also die Verküpfung der Wahrscheinlichkeiten mit "*", Multipkikation der Wahrscheinlichkeiten.
- Man spricht von einer Nicht-Oder-Verküpfung (NOR), wenn gefragt wird:"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, weder Kopf noch Zahl zu werfen?" Unmöglich da zwingend eine der beiden Seiten oben liegn wird, also 0!
Mathematisch wird hier von P=1 die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Einzelereigniss subtrahiert, also P(x1 v x2)=1 - (1/2 + 1/2) = 0
- Man spricht von einer Nicht-Und-Verknüpung (NAND), wenn gefragt wird: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Würfen nicht einmal Kopf und einmal Zahl zu werfen?
Mathematisch gilt auch hier: die Gegenteile der Wahrscheinlichkeiten werden multipliziert, also P (x1 ^ X2)= (1-P(x1))* (1-P(x2))=> (1-0,5) * (1-0,5)= 0,25