Geometrie

Flächenberechnung

Voraussetzungen: Der Begriff Strecke, Der Begriff Höhe, Gleichungen, Variblen

Quadraht und Rechteck:

Ein Quadraht ist ein Rechteck, bei dem die Seiten alle gleich lang sind und die Seiten einen rechten Winkel bilden
a
Seite a = Seite b => Fläche A = a²; Umfang U = 4a
b Seite a # Seite b => Fläche A = ab; Umfang U = 2 (a+b)

Raute, Parallelogramm und Drache

Ein Viereck, bei dem ein Paar in der Seitelänge variiert und wenigstens zwei Seiten keinen rechten Winkel bilden, die Diagonalen sich halbieren(Raute und Parallelogramm) oder senkrecht zueinader stehen (Raute und Drache)

Raute: A = ½ ef U = 4a

Parallelogramm: A = a h U = 2 (a+b)

Drachen: A = ½ ef U = 2 (a+b)

Trapez:

A = ½ (a+c) * h = m*h U=a+b+c+d wobei a und c parallel sind

Dreieck

Für alle Dreiecke gilt: Fläche = Grundseite mal Höhe durch 2 also A = ½ c * h
Die Summe der Seiten ist der Umfang, die Winkelsumme ist 180°

Rechtwinkliges Dreieck:

Satz des Pythagoras: a² + b² = c²

Kathetensatz: a² = cp ; b² = cq

Höhensatz: h² = pq

Fläche A = ½ c h = ½ a b (halbe Fläche des Rechtecks)

Umfang U = a + b + c

 

 

Gleichseitiges (alle Winkel 60°) und Gleichschenkeliges Dreieck

Gleichseitig: A=a²/4 Ö3 h = a/2 Ö3

Gleichschenkelig: A= ½ ch_c h = Ö a² -(c/2)²

Kreis

Kreisfläche, Umfang und Segmente benötigen eine Konstante namens pi =3,1415926...
Kreisfläche A = p r² = p d²/4

Zusammengesetzte Flächen

Grundsätzlich gilt hier: Man suche die geeignete Grundfläche in der Gesamtfläche, die einfach zu berechnen ist, um damit die Restflächen zu oder abrechnen zu können.

Beispiel: Ein Fachbodenregal soll mit Fächern ausgestattet werden, die einen runden Ausschnitt von d=20 cm zur Aufnahme von Rohren haben. Die einzelnen Fächer haben die Maße von 100 cm * 60 cm. Wie groß ist die verbliebene Stellfläche pro Fachboden?

Rechnung: Die Fläche des Fachbodens errechnet sich durch A = a * b
=> A = 100 * 60 [cm * cm] = 6000 cm²

Die Fläche des Kreisausschnittes errechnet sich durch A = 3,14159 (pi) * r²

=> A = 3,14159 * (20 cm / 2)² = 314 cm²

Also verbleibt an Gesamtfläche: 6000 cm² - 314 cm² = 5686 cm² = 0,5686 m²

Beispiel: Eine Lagerhalle mit der Breite von 20m und einer Länge von 60m ist in zwei Teile vom jeweils 30m unterteilt. Der erste Teil, der zur Lagerung von Paletten dient, soll durch Versatz der Wand in den hinteren Teil vergrößert werden. Bautechnisch ist diese Abteilung aber nur mit einem Winkel von 30° zur ursprünglichen Teilerwand und einem kürzesten Abstand von 9 m und einem längsten von 17m zu dieser Wand möglich.

Die Produktionswerkstatt im ehemalig rückwertigen Teil der Halle wird ausgelagert, um Verwaltungsbüros darin einzurichten. Somit wurde auch das ehemalige Büro des Lagerverwalters mit 12 m² aus der ersten Halle in diesen Teil verlegt.

Zusätzlich wird eine Verladerampe in eine Ecke des vorderen Teil eingebaut, wobei die LKW einen Einfahrtweg in die Halle von 4m Breite und 12m Länge haben, der mit der zusätzlichen Abtrennung von zwei 1,20 breiten Gehwegen um die Längskanten des tieferliegenden Einfahrtweges der Nutzung als Fläche nicht mehr zur Verfügung steht. Der Ladebereich an der Rampe geht in der Breite über die Stirnkante der Laderampe und der Breite der Gehwege und ragt 5m in die Halle hinein.

An der Rückwand der neuen Halle wurde zusätzlich ein runder Versorgungsschacht mit einen Durchmesser von 1,75 m in den Boden der Halle gebohrt, versehen mit einer Lochgitterplatte zur Abdeckung.

Diese Bereiche sind stets freizuhalten und stehen als Lagerfläche nicht mehr zur Verfügung.

Wie groß ist die neue Lagerfläche (Wegfall durch Gänge werden hierbei nicht berücksichtigt!)?

Der Verwalter des Lagers meint, dies sei ein Nachteil. Hat die Umbaumaßnahme mehr Lagerfläche geschaffen oder hat der Verwalter Recht?

a) 1.) 20m * 30m = 600 m² hatte die Lagerhalle ursprünglich, abzüglich der 12m² des Büros, die nun hingegen wieder hinzukommen.
2.) Durch den Versatz der Rückteilerwand um 9m gewinnen wir 9m * 20m = 180 m² hinzu.

3.) Da die Wand nicht rechtwinklig, sondern um 30° nach hinten fliehend eingebaut wurde, erhalten wir ein angesetztes Dreieck hinzu. Wir kennen die Länge von 20m als Seite a und die Länge von (17 - 9) 8 m als Seite b eines rechtwinkligen Dreiecks. Daher ist die Flächenberechnung des Dreiecks:

20m * 8m /2 = 80m²

Somit erhalten wir eine neue Grundfläche von 600m² + 180m² + 80m² = 860m²

4.) Die Ladeeinfahrt mit einer Fläche von 4 m * 12 m = 48 m²
zusammen mit der Beladezone von: 6,4 m (4m Stirnfläche + 2*1,2 m Gehweg)* 5 m = 32 m²
und den seitlichen Gehwegen von je 12m * 1,2m =14,4 m² also 28,8 m² Fläche fallen jedoch wieder als Nutzfläche aus.

5.) Der Schacht mit 1,75 m Durchmesser hat eine Fläche von
3,14159 * (1,75 m)² /4 =3,14159*(0,875 m) ²=2,41 m². Diese Fläche entfällt ebenfalls

Somit ist die neue Nutzfläche der Halle: 860m² - 48 m² - 32m² - 28,8 m² - 2,41m² = 748,79 m²

b) Somit hat auch der Verwalter unrecht, da dieser ursprünglich 600 m² - 12 m², also 588 m² zur Verfügung hatte.

Volumenberechnung

Der bekannteste Körper ist der Würfel, gefolgt vom Bierglas (ich meine das zylindrische Altbierglas)

Warum aber weiß der Wirt, dass in das Glas 0,3 l Bier passen? Weils draufsteht! Aber woher wusste der Schreiber das? Der konnte rechnen, also wurde er nicht Wirt...sorry, kleiner Scherz am Rande...

Verschieden Körper haben einfache Formeln zur Errechnug des Rauminhaltes (Volumens). Hierbei ist ihnen eins gemein, nämlich das sich hier die Formel aus der Grundfläche mal der Höhe - G * h zusammensetzt.

Hierzu zählen der Würfel, der Zylinder, der Quader, das Prisma, (eigentlich auch Pyramiden- und Kegelstumpf)

Würfel (Gegenstück Quadrat): G*h = (a*a)*a = a³

Quader(Gegenstück Rechteck): G*h = (a*b)*c=a*b*c

Prisma (Gegenstück Dreieck): G*h = (c*h)/2 * d = (c * h *d)/2

Zylinder (Gegenstück Kreis): G*h = (pi * r²) * h = pi *r² *h

 

 

 

 

Sonderfälle:

Die Kugel (Quadratur des Kreises...HaHa): V= 4/3* pi * r³ (also etwa 4,1888 * r³)

Der Kegel: V=1/3 G * h (allgemein)

Der senkrechte Kreiskegel: V= pi /3 r² * h

Der Kegelstumpf vom senkr. Kreiskegel: V= pi/3 * h' * (r1² + r1 r2 + r2²)

Der Pyramiden-/Kegelstumpf V=h/3 (G1 + Ö G1G2 + G2)

 

 

 

Zusammengesetzte Körper

Hier gilt dasselbe, was schon bei zusammengesetzten Flächen gesagt wurde, man versucht den Körper in verschiedene, leicht(er) errechenbare Einzelkörper aufzuteilen. Deren Volumen ergeben dann in der Summe oder Differenz das Gesamtvolumen des Körpers

Ein Beispiel hierzu spare ich mir, da der Rechenweg analog zur zusammengesetzten Fläche ist

Drehkörper

Die Rotation einer Fläche, begrenzt durch ihre Funktionslinie, errechnet durch das Integral in Bezug zu einer (Schwerpunkt)achse führt zu einem Dreh- oder Rotationskörper. Aber das gehört nun wirklich nicht mehr hierhin, da das zu weit geht. Als einfaches Beispiel sei der Ring mit Kreisförmigen Kern genannt: V=2 pi² r² R...lassen wir das.

Integral und Differentialrechnung

Keine Erläuterungen zu diesem Thema. Gesagt sei nur:

Das Integral drückt die Fläche zwischen Bezugsachse (meist X-Achse) und Funktionsgraph zwischen zwei als Start und Endpunkt genannten X-Werten aus.

Das Differential ist die Ableitung in einem Punkt auf diesem Graph der Funktion und drückt die Steigung in diesem Punkt aus.